Question

19．拋物線過A（0，t）、B（-2，0）、C（8，0），過A作x軸的平行線交拋物線于一點D．
（1）如圖1，求AD的長度；
（2）如圖2，若sin∠BAO=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，P為x軸上方拋物線上的一個動點，△PAC的面積取何值時，相應的P點有且只有兩個；
（3）如圖3，設拋物線頂點為Q，當60°≤∠BQC≤90°時，求t取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1，利用拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=3，再判斷點A與點D為拋物線上的對稱點，于是可得AD的長；
（2）在Rt△ABO中，利用正弦定義計算出AB，利用勾股定理計算出OA，從而得到A點坐標，接著利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式和直線AC的解析式，過點P作PM∥AC，如圖2，利用直線PM與拋物線只有唯一公共點和判別式的意義可計算出m，于是得到此時P點和Q點坐標，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S_△PAC=S_△PAQ+S_△CPQ進行計算即可；
（3）如圖3，作QH⊥BC于H，易得Q點的橫坐標為3，△QBC為等腰三角形，當∠BQC=60°時，△BCQ為等邊三角形，再求出Q點坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，從而得到A點坐標，易得此時t的值；當∠BQC=90°時，利用同樣方法求t的值．

解答 解：（1）如圖1，
∵B（-2，0）和C（8，0）為拋物線上的對應點，
∴拋物線的對稱軸為直線x=3，
∵AD∥x軸，
∴點A與點D為拋物線上的對稱點，
∴AD=2×3=6；
（2）在Rt△ABO中，∵sin∠BAO=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=$\sqrt{5}$OB=2$\sqrt{5}$，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，則A（0，4），
設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-8），
把A（0，4）代入得a•2•（-8）=4，解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8），即y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（0，4），C（8，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，
過點P作PM∥AC，如圖2，當直線PM與拋物線只有唯一公共點P時，此時對于△APC的面積所取的值，P點有且只有兩個與之對應（兩P點在AC的兩側，到AC的距離相等），作PQ∥y軸交AC于Q，
設直線PM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+m，
則方程-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{2}$x+m有兩個相等的實數(shù)解，方程整理為x²-8x+4m-16=0，△=（-8）²-4×（4m-16）=0，解得m=8，解方程得x₁=x₂=4，此時P點坐標為（4，6），Q點坐標為（4，2）
S_△PAC=S_△PAQ+S_△CPQ=$\frac{1}{2}$×（6-2）×8=16，
即△PAC的面積為16時，相應的P點有且只有兩個；
（3）如圖3，作QH⊥BC于H，
∵Q點為頂點，
∴Q點的橫坐標為3，△QBC為等腰三角形，
當∠BQC=60°時，△BCQ為等邊三角形，則QH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=5$\sqrt{3}$，
則Q（3，5$\sqrt{3}$），
設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-8），
把Q（3，5$\sqrt{3}$）代入得a•5•（-5）=5$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$（x+2）（x-8），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$x²+$\frac{6\sqrt{3}}{5}$x+$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
當x=0時，y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$x²+$\frac{6\sqrt{3}}{5}$x+$\frac{16\sqrt{3}}{5}$=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，則A（0，$\frac{16\sqrt{3}}{5}$），此時t的值為$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
當∠BQC=90°時，△BCQ為等腰直角三角形，則QH=$\frac{1}{2}$BC=5，
則Q（3，5），
設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-8），
把Q（3，5）代入得a•5•（-5）=5，解得a=-$\frac{1}{5}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{5}$（x+2）（x-8），即y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x+$\frac{16}{5}$，
當x=0時，y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x+$\frac{16}{5}$=$\frac{16}{5}$，則A（0，$\frac{16}{5}$），此時t的值為$\frac{16}{5}$，
∴當60°≤∠BQC≤90°時，t取值范圍為$\frac{16}{5}$≤t≤$\frac{16\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質、等邊三角形的性質和等腰直角三角形的性質；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式；會利用判別式判斷直線與拋物線的交點個數(shù)；理解坐標與圖形性質，記住三角形面積公式．