Question

15．已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點E，在AC上取一點D，使得DE=AD，
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）當BC=10，AD=4時，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OE、DE，證明△AOD≌△EOD，得到∠OED=∠BAC=90°，證明結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AOD=∠EOD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠BEO=∠EOD，得到OD∥BC，求出OD，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 （1）證明：連接OE、DE，
在△AOD和△EOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{DA=DE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED=∠BAC=90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠EOD，
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠AOE=∠B+∠OEB，
∴∠BEO=∠EOD，
∴OD∥BC，又AO=BO，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=5，
由勾股定理得，AO=$\sqrt{O{D}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
則⊙O的半徑為3．

點評 本題考查的是切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理的應用，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．