Question

14．如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，3），點(diǎn)C在x軸上，且使△AOC是等邊三角形，BC∥OA．
（1）求反比例函數(shù)的解析式和OC的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）求直線BC的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得m的值；結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理來(lái)求OC的長(zhǎng)度；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)CE=a，則$OE=2\sqrt{3}+a$，$BE=\sqrt{3}a$，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于a的方程，通過(guò)解方程求得a的值，易得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線BC為y=kx+b，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出方程組，通過(guò)解方程組求得系數(shù)的值．

解答 解：（1）點(diǎn)A（$\sqrt{3}$，3）在反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$的圖象上，
∴$3=\frac{m}{{\sqrt{3}}}$，$m=3\sqrt{3}$，
∴$y=\frac{{3\sqrt{3}}}{x}$，$OC=OA=\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{3^2}}=2\sqrt{3}$．

（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
設(shè)CE=a，則$OE=2\sqrt{3}+a$，$BE=\sqrt{3}a$，
∵點(diǎn)B在$y=\frac{{3\sqrt{3}}}{x}$上，
∴$\sqrt{3}a=\frac{{3\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}+a}}$，
即${a^2}+2\sqrt{3}a-3=0$，
解得$a=-\sqrt{3}±\sqrt{6}$，
∵a＞0，
∴$a=\sqrt{6}-\sqrt{3}$，$OE=2\sqrt{3}+\sqrt{6}-\sqrt{3}=\sqrt{6}+\sqrt{3}$，$BE=\sqrt{3}（\sqrt{6}-\sqrt{3}）=3\sqrt{2}-3$，
∴B的坐標(biāo)為（$\sqrt{6}+\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}-3$）；

（3）設(shè)直線BC為y=kx+b，則$\left\{{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=0}\\{（\sqrt{6}+\sqrt{3}）k+b=3\sqrt{2}-3}\end{array}}\right.$，
兩式相減得，$（\sqrt{6}-\sqrt{3}）k=3\sqrt{2}-3$，$k=\frac{{3\sqrt{2}-3}}{{\sqrt{6}-\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$，
∴$b=-2\sqrt{3}k=-6$，
∴所求的直線解析式是$y=\sqrt{3}x-6$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式以及正三角形的性質(zhì)．解題時(shí)，注意函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征的應(yīng)用．