Question

19．如圖，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，交AB的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AD⊥CE于點(diǎn)D，連接AC．
（1）求證：∠DAC=∠CAE；
（2）若∠CAB=30°，CE=3$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥CE，加上AD⊥CE，則根據(jù)平行線的判定可得OC∥AD，則∠2=∠3，然后利用等量代換可得∠1=∠2；
（2）先利用三角形外角性質(zhì)可得∠COE，然后在Rt△OCE中利用三角函數(shù)計(jì)算OC的長．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥CE，
∵AD⊥CE，
∴OC∥AD，
∴∠2=∠3，
∵OC=OA，
∴∠1=∠3，
∴1=∠2，
即∠DAC=∠CAE；
（2）解：∵∠COE=∠1+∠3=2∠1=2×30°=60°，
在Rt△OCE中，∵tan∠COE=$\frac{CE}{OC}$，
∴OC=$\frac{3\sqrt{3}}{tan60°}$=3，
即⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．解決（1）小題的關(guān)鍵是證明OC∥AD．