Question

17．如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩點E、F滿足AE=1，EF=FC=3，AE⊥EF，CF⊥EF，則正方形ABCD的邊長為（　�。�

• A． 4
• B． $\frac{5}{2}\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 5$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連接AC，交EF于點M，可證明△AEM∽△CMF，根據(jù)條件可求得AE、EM、FM、CF，再結(jié)合勾股定理可求得AB．

解答 解：連接AC，交EF于點M，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{EM}{FM}$，
∵AE=1，EF=FC=3，
∴$\frac{EM}{FM}$=$\frac{1}{3}$，
∴EM=$\frac{3}{4}$，F(xiàn)M=$\frac{9}{4}$，
在Rt△AEM中，AM²=AE²+EM²=1+$\frac{9}{16}$=$\frac{25}{16}$，解得AM=$\frac{5}{4}$，
在Rt△FCM中，CM²=CF²+FM²=9+$\frac{81}{16}$=$\frac{225}{16}$，解得CM=$\frac{15}{4}$，
∴AC=AM+CM=5，
在Rt△ABC中，AB=BC，AB²+BC²=AC²=25，
∴AB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，即正方形的邊長為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故選B．

點評 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，構(gòu)造三角形相似利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得AC的長是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的應(yīng)用．