Question

5．（1）用“＞”、“=”或“＜”填空．
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＜$\sqrt{2}-1$；2-$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；$\sqrt{5}-2$＜2-$\sqrt{3}$；$\sqrt{6}-\sqrt{5}$＜$\sqrt{5}-2$…
（2）觀察上式，請(qǐng)用含n-1，n，n=1（n≥1）的式子，把你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論表示出來(lái)，并證明結(jié)論的正確性．

Answer 1

分析 （1）首先用1除以每個(gè)數(shù)，求出商是多少；再比較出它們商的大��；然后根據(jù)商越大，則原來(lái)的數(shù)就越小，判斷出它們的大小關(guān)系即可；
（2）根據(jù)（1）中組成的式子，可得$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，然后比較出$\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$和2$\sqrt{n}$的平方的大小，即可證明出結(jié)論的正確性．

解答 解：（1）根據(jù)分析，可得
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＜$\sqrt{2}-1$； 2-$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}-\sqrt{2}$； $\sqrt{5}-2$＜2-$\sqrt{3}$； $\sqrt{6}-\sqrt{5}$＜$\sqrt{5}-2$…
（2）根據(jù)（1）中組成的式子，
可得$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，
因?yàn)?{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}）}^{2}$-${（2\sqrt{n}）}^{2}$
=2n$+2\sqrt{（n+1）（n-1）}$-4n
=2（$\sqrt{（n+1）（n-1）}$-n）
=2（$\sqrt{{n}^{2}-1}$-n）
＜2（n-n）
=0，
所以$\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}＜2\sqrt{n}$，
所以$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}＜\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$成立．
故答案為：＜、＜、＜、＜．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了實(shí)數(shù)大小的比較，以及不等式的證明，解答此題的關(guān)鍵是要明確：被除數(shù)一定時(shí)，商越大，則除數(shù)越�。�