Question

18．探究：如圖①，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高線，以點(diǎn)D為中點(diǎn)作線段EF，且EF不與BC邊重合，以EF為邊作等邊三角形EFG，連結(jié)AG，GD，CF．求證：△ADG∽△CDF；
應(yīng)用：如圖②，將線段EF繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在AD上時(shí)，延長(zhǎng)CF交AG于點(diǎn)H，求∠AHF的度數(shù)．

Answer 1

分析 探究：如圖①由△ABC是等邊三角形，D是EF的中點(diǎn)，于是得到GD⊥EF，由于AD⊥BC，推出∠ADF+∠ADG=∠CDF+∠ADF，于是得到∠ADG=∠CDF，根據(jù)△ABC與△EFG是等邊三角形，得到△ABC∽△EFG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{GD}=\frac{CD}{DF}$，即可得到結(jié)論；
應(yīng)用：如圖②，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠GAD=∠FCD，由于∠FDC=90°，∠AFH=∠CFD，于是得到∠GAD+∠AFH=∠FCD+∠CFD=90°，即可得到結(jié)果．

解答 解：探究：如圖①∵△ABC是等邊三角形，D是EF的中點(diǎn)，
∴GD⊥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADF+∠ADG=∠CDF+∠ADF，
∴∠ADG=∠CDF，
∵△ABC與△EFG是等邊三角形，
∴△ABC∽△EFG，
∴$\frac{AD}{GD}=\frac{CD}{DF}$，
∴△ADG∽△CDF；
應(yīng)用：如圖②，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠GAD=∠FCD，
∵∠FDC=90°，∠AFH=∠CFD，
∴∠GAD+∠AFH=∠FCD+∠CFD=90°，
∴∠AHF=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明△ADG∽△CDF是解題的關(guān)鍵．