Question

11．菱形OBCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B（5，0），點D的縱坐標為4，點P是對角線OC上一動點，E（0，-1），當EP+BP最短時，點P的坐標為（$\frac{6}{7}$，$\frac{3}{7}$）．

Answer 1

分析 點B的對稱點是點D，連接ED，交OC于點P，再得出ED即為EP+BP最短，解答即可．

解答 解：連接ED，如圖，

∵點B關于OC的對稱點是點D，
∴DP=BP，
∴ED即為EP+BP最短，
∵四邊形OBCD是菱形，頂點B（5，0），
∴OD=OB=5，
∵點D的縱坐標為4，
∴點D的坐標為（3，4），
∴點C的坐標為（8，4），
∴可得直線OC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x，
∵點E的坐標為（0，-1），
∴可得直線ED的解析式為：y=$\frac{5}{3}$x-1，
∵點P是直線OC和直線ED的交點，
∴點P的坐標為方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{5}{3}x-1}\end{array}\right.$的解，
解方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{7}}\\{y=\frac{3}{7}}\end{array}\right.$，
所以點P的坐標為（$\frac{6}{7}$，$\frac{3}{7}$），
故答案為：（$\frac{6}{7}$，$\frac{3}{7}$）．

點評 此題考查了軸對稱-最短距離問題，菱形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)一次函數(shù)與方程組的關系，得出兩直線的解析式，求出其交點坐標．