Question

19．如圖，在直標系內(nèi)，一次函數(shù)y=kx+b（kb＞0，b＜0）的圖象分別與x軸、y軸和直線x=4相交于A、B、C三點，直線x=4與x軸交于點D，四邊形OBCD（O是坐標原點）的面積是8，若點B的縱坐標是-1．
（1）求這個一次函數(shù)解析式；
（2）E為直線CD上的一點當△ABC是以BC為腰的等腰三角形時，求出點E的坐標；
（3）若點M在x軸上運動，當M運動到某個位置時，|MB-MC|最小，試求出此時點M的坐標；
（4）若點G在直線CD上，點H在直線AB上，試問：在（3）條件下，是否存在某個合適的位置，使得MG+GH取得最小值？如果存在請直接寫出這個最小值和此時點H的坐標；如果不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點B的縱坐標是-1代入y=kx+b，得到y(tǒng)=kx-1，于是得到OA=-$\frac{1}{K}$，OB=1，把x=4代入得到y(tǒng)=4k-1，得到C（4，4k-1），根據(jù)四邊形OBCD的面積是8，列方程求解；
（2）分類討論：當BC=BE時，得到BF垂直平分CD，所以CF=EF，求得E點的坐標；當BC=CE=2$\sqrt{5}$，得到E′（4，-3-2$\sqrt{5}$），所以E的坐標是（4，1）或（4，-3-2$\sqrt{5}$）；
（3）作線段BC的中垂線交x軸于M，交BC 于N，則MB=MC，即MB-MC=0，所以點M就是符合條件的點，再根據(jù)三角形相似，列比例式求解；
（4）作點M關(guān)于直線CD的對稱點M′，過點M′作M′H⊥BC于H，交CD于G，則點G，H就是符合條件的點，根據(jù)三角形相似列方程求解．

解答 解：（1）∵點B的縱坐標是-1，
∴-1=b，∴y=kx-1，
令x=0，得y=$\frac{1}{k}$，
∴OA=-$\frac{1}{K}$，OB=1，
當x=4，得到y(tǒng)=4k-1，
∴C（4，4k-1），
∴OD=4，CD=1-4k，
∵四邊形OBCD的面積是8，
∴$\frac{1}{2}$（1+1-4k）×4=8，∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴一次函數(shù)解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x-1；

（2）如圖1，當BC=BE時，過點B作BF⊥CD于F，
∵C（4，-3），
∴CD=3，
∴BC=$\sqrt{{CF}^{2}{+BF}^{2}}$=$\sqrt{{（3-1）}^{2}{+4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴EF=CF=2，
∴E（4，1），
當BC=CE=2$\sqrt{5}$，
∴E′（4，-3-2$\sqrt{5}$），
∴點E的坐標是（4，1）或（4，-3-2$\sqrt{5}$）；

（3）如圖2，作線段BC的中垂線交x軸于M，交BC 于N，
點M就是符合題意得點，即|MB-MC|最小，
∵∠DAC=∠NAM，∠ADC=∠ANM，
∴△ACD∽△AMN，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AN}{AD}$，
∴$\frac{AM}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{6}$，
∴AM=5，
∴OM=3，
∴M（3，0）；

（4）存在．
如圖3，作點M關(guān)于直線CD的對稱點M′，過點M′作M′H⊥BC于H，交CD于G，
則點G，H就是符合條件的點，
易證得：△ACD∽△AM′H，
∴$\frac{AD}{AH}$=$\frac{AC}{AM′}$=$\frac{CD}{HM′}$，
∴$\frac{6}{AH}$=$\frac{3}{HM′}$=$\frac{3\sqrt{5}}{7}$，
∴AH=$\frac{14\sqrt{5}}{5}$，HM′=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
∴MG+GH的最小值=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
∵點H在直線AB上，
∴設(shè)H（m，-$\frac{1}{2}$m-1），
∴（m+2）²${+（\frac{1}{2}m+1）}^{2}$=${（\frac{14\sqrt{5}}{5}）}^{2}$，
∴m=$\frac{18}{5}$，
∴H（$\frac{18}{5}$，-$\frac{14}{5}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，在平面直角坐標系中求點的坐標，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)勾股定理得應用．