Question

14．已知α為銳角，則sin⁴α+sinα•cosα+cos⁴α的最大值為$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)sin²α+cos²α=1，可得完全平方公式，根據(jù)正弦的二倍角公式，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的最值，可得答案．

解答 解：原式=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α+sinαcosα
=1-$\frac{1}{2}$sin²2α+$\frac{1}{2}$sin2α
=-$\frac{1}{2}$（sin²2α-sin2α+$\frac{1}{4}$）+1+$\frac{1}{8}$
=-$\frac{1}{2}$（sin2α-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
當(dāng)sin2α=$\frac{1}{2}$時，sin⁴α+sinα•cosα+cos⁴α的最大值為$\frac{9}{8}$，
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)最值，利用據(jù)sin²α+cos²α=1得出完全平方公式是解題關(guān)鍵，又利用正弦的二倍角公式，二次函數(shù)的性質(zhì)．