Question

2．已知點A是雙曲線y=$\frac{5}{x}$在第三象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為一邊作等邊三角形ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運動，則這個函數(shù)的解析式為y=-$\frac{15}{x}$．

Answer 1

分析 設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，$\frac{5}{a}$），連接OC，則OC⊥AB，表示出OC，過點C作CD⊥x軸于點D，設(shè)出點C坐標(biāo)，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x²的值，繼而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：過點C作CD⊥x軸于點D，連接OC，
設(shè)A（a，$\frac{5}{a}$），
∵點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴OA=OB，
則B（-a，-$\frac{5}{a}$）
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB⊥OC，OC=$\sqrt{3}$AO，
∵AO=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{5}{a}）^{2}}$，
∴CO=$\sqrt{3}$×$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{5}{a}）^{2}}$=$\sqrt{3{a}^{2}+\frac{75}{{a}^{2}}}$，
∵∠BOD+∠COD=∠COD+∠OCD=90°，
∴∠BOD=∠OCD，
設(shè)點C的坐標(biāo)為（x，y），則tan∠BOD=tan∠OCD，即$\frac{\frac{5}{a}}{a}$=-$\frac{x}{y}$，
解得：y=-$\frac{{a}^{2}}{5}$x，
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，即y²+x²=3a²+$\frac{75}{{a}^{2}}$，
將y=-$\frac{{a}^{2}}{5}$x代入，得（$\frac{{a}^{4}+25}{25}$）x²=3（$\frac{{a}^{4}+25}{{a}^{2}}$），
解得：x²=$\frac{75}{{a}^{2}}$，
故x=$\frac{5\sqrt{3}}{a}$，y=-$\sqrt{3}$a，
則xy=-15，
故可得：y=-$\frac{15}{x}$（x＞0）．
故答案為y=-$\frac{15}{x}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．