Question

19．（1）已知一元二次方程x²-4x+m=0有唯一實數(shù)根，求（$\frac{1}{m+2}$-$\frac{1}{m-2}$）÷$\frac{m}{{m}^{2}-4}$的值；
（2）小明是這樣完成“作∠MON的平分線”這項作業(yè)的：
“如圖，①以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OM，ON于點A，B；②分別作線段OA，OB的垂直平分線l₁，l₂（垂足分別記為C，D），記l₁與l₂的交點為P；③作射線OP，則射線OP為∠MON的平分線．”
你認為小明的作法正確嗎？如果正確，請你給證明，如果不正確，請指出錯在哪里．

Answer 1

分析 （1）首先利用根的判別式得出m的值，進而化簡分式求出即可；
（2）利用全等三角形的判定方法得出Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），進而得出射線OP是∠MON的平分線．

解答 解：（1）∵一元二次方程x²-4x+m=0有唯一實數(shù)根，
∴（-4）²-4×1×m=0，
∴m=4，
（$\frac{1}{m+2}$-$\frac{1}{m-2}$）÷$\frac{m}{{m}^{2}-4}$
=$\frac{-4}{（m+2）（m-2）}$×$\frac{（m-2）（m+2）}{m}$
=-$\frac{4}{m}$，
將m=4代入原式得：原式=-1；

（2）小明的作法正確．
理由：由作法知：OA=OB，
又∵l₁，l₂垂分別是OA，OB的垂直平分線，垂足分別是C，D，
∴OC=OD，∠PCO=∠PDO=90°，
在Rt△PCO和Rt△PDO中
∵$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴∠POC=∠POD，
即射線OP是∠MON的平分線．

點評 此題主要考查了基本作圖以及分式的化簡求值和全等三角形的判定與性質等知識，正確得出Rt△PCO≌Rt△PDO是解題關鍵．