Question

20．如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長交邊AD于點F，交CD的延長線于點G．
（1）求證：△ABP≌△ADP；
（2）已知FA=2DF，DP=6，求PG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）首先證明△DFP≌△BEP，進而得出$\frac{DG}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{3}$，進而得出 $\frac{DP}{PE}$=$\frac{DG}{EB}$，即 $\frac{DP}{PF}=\frac{3}{2}$，得出FG=5，即可得出答案；

解答 解（1）由菱形的性質(zhì)可知∠DAP=∠BAP，AD=AB，
在△DAP和△BAP中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAP=∠BAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△BAP．
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AFP∽△CBP，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{2}{3}$．
∵$\frac{DF}{FA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{FP}{BP}=\frac{2}{3}$由（1）知PB=PD，
∴$\frac{PF}{PD}=\frac{2}{3}$．
∴PF=$\frac{2}{3}$PD，
當DP=6時，PF=$\frac{2}{3}$×6=4，
∴FB=FP+PB=4+6=10．
∵DG∥AB，
∴△DFG∽△AFB．
∴$\frac{FG}{FB}=\frac{FD}{PA}=\frac{1}{2}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$×10=5
∴PG=FG+PF=5+4=9．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，平行線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．