Question

11．已知有正整數(shù)k，使得$\frac{8}{15}$＜$\frac{n}{n+k}$＜$\frac{7}{13}$成立，求正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 由$\frac{8}{15}$＜$\frac{n}{n+k}$＜$\frac{7}{13}$求得n、k的不等式7n＞8k，…①、6n＜7k，…②，因?yàn)閚、k都是正整數(shù)，所以可設(shè)7n=8k+r，r為正整數(shù)…③，6n=7k-s，s為正整數(shù)…④
要使得$\frac{8}{15}$＜$\frac{n}{n+k}$＜$\frac{7}{13}$成立，且正整數(shù)n的值最小，則③×7-④×8消去k，得n=7r+8s≥15，即n取15即可

解答 解：由$\frac{8}{15}$＜$\frac{n}{n+k}$得7n＞8k，…①
由$\frac{n}{n+k}$＜$\frac{7}{13}$得6n＜7k，…②
n、k都是正整數(shù)，所以
由①得7n=8k+r，r為正整數(shù)…③
由②得6n=7k-s，s為正整數(shù)…④
③×7-④×8消去k，得n=7r+8s≥15
當(dāng)r=s=1時(shí)，n=15，k=13
所以正整數(shù)n的最小值為15

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是推知要使n、k最小，就應(yīng)該使上式的分子、分母所擴(kuò)大的倍數(shù)最�。�