Question

17．如圖，BE，CE分別是△ABC的兩條外角平分線，且交于點E，∠A=80°，
（1）∠E的度數(shù)是多少？
（2）若∠ABC=35°，求四邊形ABEC的各內(nèi)角度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由BE、CE是兩外角的平分線，得到∠2=$\frac{1}{2}$∠CBD，∠4=$\frac{1}{2}$∠BCF，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠E+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=180°，于是得到∠E+$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°．即可得到結(jié)論；
（2）由∠ABC=35°，根據(jù)鄰補角的定義得到∠DBC=180°-∠ABC=145°，由BE平分∠DBC，得到∠2=$\frac{145°}{2}$，于是得到∠ABE=$\frac{215°}{2}$，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵BE、CE是兩外角的平分線，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠CBD，∠4=$\frac{1}{2}$∠BCF，
而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠2=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠4=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4=180°，
∴∠E+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=180°，
即∠E+$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠E+$\frac{1}{2}$∠A=90°，
∴∠E=90°-$\frac{1}{2}$∠A=50°；

（2）∵∠ABC=35°，
∴∠DBC=180°-∠ABC=145°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠2=$\frac{145°}{2}$，
∴∠ABE=$\frac{215°}{2}$，
∴∠ACE=360°-∠A-∠E-∠ABE=$\frac{245°}{2}$．
∴四邊形ABEC的各內(nèi)角度數(shù)為：80°，$\frac{215°}{2}$，50°$\frac{245°}{2}$．

點評 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．