Question

8．如圖，已知：直線y=-$\frac{1}{2}$x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，點C為y軸負(fù)半軸上一點，連接BC，且∠ABC=45°，BC=2$\sqrt{10}$，作AD⊥BC，垂足為D．
（1）求直線BC的解析式；
（2）點P（0，t）為AO上一點，過點P作x軸的平行線，分別交AB、AD于點M、N，設(shè)線段MN的長為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△MND是以DM為腰的等腰三角形時，求t值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)直線y=-$\frac{1}{2}$x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，分別求出點A、B的坐標(biāo)各是多少；然后設(shè)直線BC的斜率是k，根據(jù)∠ABC=45°，求出k的值是多少，即可求出直線BC的解析式．
（2）首先根據(jù)MP∥x軸，可得$\frac{AP}{AO}=\frac{MP}{OB}$，據(jù)此求出MP的值是多少；然后根據(jù)AD⊥BC，∠ABC=45°，BC=2$\sqrt{10}$，求出AD、BD、DC的值各是多少；再根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△AOE∽△ADC，推得$\frac{OE}{DC}=\frac{AO}{AD}$，據(jù)此求出OE的值是多少；最后根據(jù)MP∥x軸，可得$\frac{3-t}{3}=\frac{PN}{1}$，據(jù)此求出PN的值，即可求出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)AO的長度，求出自變量t的取值范圍．
（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)△MND是等腰三角形，且DM=DN時；②當(dāng)△MND是等腰三角形，且DM=MN時；然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論，求出t的值是多少即可．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{1}{2}$x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，
∴A（0，3），B（6，0），
設(shè)直線BC的斜率是k，
∵∠ABC=45°，
∴$\frac{k-（-\frac{1}{2}）}{1-\frac{1}{2}k}$=tan45°=1，
解得k=$\frac{1}{3}$，
∴直線BC的解析式是y=$\frac{1}{3}$（x-6）=$\frac{1}{3}$x-2．

（2）如圖1，AD與x軸交于點E，

∵M(jìn)P∥x軸，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{MP}{OB}$，
即$\frac{3-t}{3}=\frac{MP}{6}$，
∴MP=6-2t．
∵AD⊥BC，∠ABC=45°，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{{6}^{2}{+3}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴DC=BC-BD=2$\sqrt{10}$-$\frac{3}{2}\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∵AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
又∵∠CAD+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ACD，
在△AOE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠ADC=90°}\\{∠AEO=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△AOE∽△ADC，
∴$\frac{OE}{DC}=\frac{AO}{AD}$，
即$\frac{OE}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{3}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}$，
∴OE=1，
∵M(jìn)P∥x軸，
∴$\frac{3-t}{3}=\frac{PN}{1}$，
解得PN=1-$\frac{t}{3}$，
∴d=MN-PN=6-2t-（1-$\frac{t}{3}$）=-$\frac{5}{3}t+5$，
∵AO=3，點P（0，t）為AO上一點，
∴0＜t＜3，
∴d=-$\frac{5}{3}t+5$（0＜t＜3）．

（3）如圖2，

∵M(jìn)P∥x軸，
∴$\frac{AN}{AE}=\frac{AP}{AO}$，
∴$\frac{AN}{\sqrt{{3}^{2}{+1}^{2}}}=\frac{AN}{\sqrt{10}}=\frac{3-t}{3}$，
∴AN=$\frac{\sqrt{10}}{3}（3-t）$，
∴DN=AD-AN=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$-$\frac{\sqrt{10}}{3}（3-t）$=$\frac{\sqrt{10}}{3}t+\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∵M(jìn)P∥x軸，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AP}{AO}$，
∴$\frac{AM}{\sqrt{{6}^{2}{+3}^{2}}}=\frac{3-t}{3}$，
解得AM=$\sqrt{5}$（3-t），
又∵AD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，∠DAM=90°-45°=45°，
∴DM²=AD²+AM²-2AD•AM•cos45°
=${（\frac{3\sqrt{10}}{2}）}^{2}$+${[\sqrt{5}（3-t）]}^{2}$-2×$\frac{3\sqrt{10}}{2}$×$\sqrt{5}$（3-t）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{45}{2}$+5t²-30t+45-45+15t
=$\frac{45}{2}$+5t²-15t
①當(dāng)△MND是等腰三角形，且DM=DN時，
$\frac{45}{2}$+5t²-15t=${（\frac{\sqrt{10}}{3}t+\frac{\sqrt{10}}{2}）}^{2}$，
整理，可得
7t²-33t+36=0，
解得t=$\frac{12}{7}$或t=3，
∵0＜t＜3，
∴t=$\frac{12}{7}$．
②當(dāng)△MND是等腰三角形，且DM=MN時，
$\frac{45}{2}$+5t²-15t=${（-\frac{5}{3}t+5）}^{2}$，
整理，可得
8t²+6t-9=0，
解得t=$\frac{3}{4}$或t=-$\frac{3}{2}$，
∵0＜t＜3，
∴t=$\frac{3}{4}$．
綜上，可得
當(dāng)△MND是以DM為腰的等腰三角形時，t=$\frac{12}{7}$或t=$\frac{3}{4}$．

點評 （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．
（2）此題還考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．
（3）此題還考查了等腰三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．