Question

19．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，E為BC的延長線上一點(diǎn)，連接AE，若線段AE的中垂線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：PB=PE；
（2）試判斷線段BC、CE、CP三者之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）若BC=7，當(dāng)CE=$\sqrt{7}$時(shí)，AF=2EF（直接寫出結(jié)論）．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AP，只要證明△ACP≌△BCP即可．
（2）如圖1中，作PD⊥PC交AC于D，則CD=$\sqrt{2}$CP，PD=PC，∠APD=∠EPC，由（1）可知∠CEP=∠CBP=∠CAP，得A、E、C、P四點(diǎn)共圓，再證明△ADP≌△ECP即可解決問題．
（3）如圖2中，連接PA，作PH⊥BC于H．設(shè)EF=a，PF=b則PA=PE=a+b，AF=2a，先在在RTAPF中利用勾股定理求出a、b的關(guān)系，再根據(jù)AC=BC=7，列出方程求出a，最后在RT△EFC中利用勾股定理即可解決．

解答 （1）證明：如圖1中，連接AP，
∵點(diǎn)P在AE的垂直平分線上，
∴PA=PE，
在△ACP和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCP}\\{CP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCP，
∴AP=PB=PE．
（2）結(jié)論：BC=CE+$\sqrt{2}$CP．
證明：如圖1中，由（1）可知∠CEP=∠CBP=∠CAP，
∴A、E、C、P四點(diǎn)共圓，
∴∠APE=∠ACE=90°，作PD⊥PC交AC于D，則CD=$\sqrt{2}$CP，PD=PC，∠APD=∠EPC，
在△ADP和△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAD=∠PEC}\\{PA=PE}\\{∠APD=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
∴BC=AC=AD+CD=CE+$\sqrt{2}$CP．
（3）如圖2中，連接PA，作PH⊥BC于H．設(shè)EF=a，PF=b則PA=PE=a+b，AF=2a，
在RT△PAF中，∵AF²=PA²+PF²，
∴（2a）²=（a+b）²+b²，
∴b=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$a或b=$\frac{-\sqrt{7}-1}{2}$a（舍棄），
∴PE=$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$a=PB   ①
∵A、E、C、P四點(diǎn)共圓，
∴AF•CF=EF•PF（相交弦定理），
∴CF=$\frac{EF•PF}{AF}$=$\frac{1}{2}$PF=$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$a，
∴CF+AF=7，
$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$a+2a=7，
∴a=$\frac{2\sqrt{7}（\sqrt{7}-1）}{3}$，
∴EC=$\sqrt{E{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{7}-1}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}+1}{4}$a=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)，用方程的思想解決問題，屬于中考�？碱}型．