Question

【知識重現(xiàn)】一元二次方程根與系數(shù)的關系是：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，那么有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．
【用法指導】我們利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可以用來解答以下問題：
問題一：建立新方程
背景：設x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩個根，由根與系數(shù)的關系得：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，反過來，p=-（x₁+x₂），q=x₁•x₂．
所以原方程可化為：x²-（x₁+x₂）x+x₁•x₂=0，這樣我們就建立了以兩個已知數(shù)x₁，x₂為根的新方程．
例如：以2，3為根的方程是：x²-（2+3）x+2×3=0，即：x²-5x+6=0．
問題二：求與兩根有關的代數(shù)式的值
例：設x₁，x₂是方程2x²+4x-3=0的兩根，不解方程，求代數(shù)式x₁²+x₂²的值．
解：由根與系數(shù)關系得：x₁+x₂=-

4

2

=-2，x₁•x₂=

-3

2

=-

3

2

所以：x₁²+x₂²
=x₁²+x₂²+2x₁•x₂-2x₁•x₂
=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
=（-2）²-2×（-

3

7

）=7
【學以致用】請你根據(jù)以上信息解答下題：
（1）請寫出①以

1

2

，

1

3

為根的方程：

 

，②以-5，8為根方程：

 

；
（2）設x₁，x₂是方程x²-3x-5=0的兩根，不解方程，求代數(shù)式

x2

x1

+

x1

x2

的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系

專題：閱讀型

分析：（1）①先計算出

1

2

+

1

3

=

5

6

，

1

2

×

1

3

=

1

6

，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系寫出滿足條件的一個一元二次方程；
②與①一樣求解；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=3，x₁•x₂=-5，再計算出x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=19，然后計算

x2

x1

+

x1

x2

=

x12+x22

x1x2

=-

19

5

．

解答：解：（1）①∵

1

2

+

1

3

=

5

6

，

1

2

×

1

3

=

1

6

，
∴以

1

2

，

1

3

為根的一元二次方程可為x²-

5

6

x+

1

6

=0；
②∵-5+8=3，-5×8=-40，
∴以-5，8為根的一元二次方程可為x²-3x-40=0，
故答案為x²-

5

6

x+

1

6

=0；x²-3x-40=0；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=3，x₁•x₂=-5，
所以x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=3²-2×（-5）=19，
所以

x2

x1

+

x1

x2

=

x12+x22

x1x2

=

19

-5

=-

19

5

．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關系是：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，那么有x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．