Question

13．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），C（b，2），過C作CB⊥x軸，且滿足（a+b）²+$\sqrt{a-b+4}$=0．

（1）求三角形ABC的面積．
（2）若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖2，求∠AED的度數(shù)．
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=-b，a-b+4=0，解得a=-2，b=2，則A（-2，0），B（2，0），C（2，2），即可計(jì)算出三角形ABC的面積=4；
（2）由于CB∥y軸，BD∥AC，則∠CAB=∠ABD，即∠3+∠4+∠5+∠6=90°，過E作EF∥AC，則BD∥AC∥EF，然后利用角平分線的定義可得到∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（3）先根據(jù)待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，則G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），然后利用S_△PAC=S_△APG+S_△CPG進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：（1）∵（a+b）²≥0，$\sqrt{a-b+4}$≥0，
∴a=-b，a-b+4=0，
∴a=-2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2）
∴三角形ABC的面積=$\frac{1}{2}$×4×2=4；
（2）∵CB∥y軸，BD∥AC，
∴∠CAB=∠ABD，
∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°，
過E作EF∥AC，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（3）存在．理由如下：
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-2，0）、C（2，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴S_△PAC=S_△APG+S_△CPG=$\frac{1}{2}$|t-1|•2+$\frac{1}{2}$|t-1|•2=4，解得t=3或-1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（0，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．