Question

9．如圖，己知點(diǎn)P從邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)B出發(fā)，沿著BC邊向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)P與C點(diǎn)重合時(shí)停止，連接AP并以AP為直角邊在AP右側(cè)作等腰直角△APQ，其中∠APQ=90°，則在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$π
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$π

Answer 1

分析 如圖，延長(zhǎng)AD到M，使得DM=AD，連接CM，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡是線段CM．只要證明△ABP≌△PNQ，CN=QN即可解決問題．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)AD到M，使得DM=AD，連接CM，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡是線段CM．

作QN⊥BC于N，
∵PA=PQ，∠APQ=90°，
∴∠APB+∠QPN=90°，∠QPN+∠PQN=90°，
∴∠APB=∠PQN，
在△ABP和△PNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠PNQ=90°}\\{∠APB=∠PQN}\\{AP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PNQ，
∴AB=PN=BC，PB=NQ，
∴PB=CN=QN，
∴∠QCN=45°，
∴點(diǎn)Q在線段CM上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段CM，
CM=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．