Question

15．如圖，△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=3，AD=8，求DC的長．
小萍同學(xué)靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題．
請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；
（2）設(shè)DC=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據(jù)對稱的性質(zhì)得到AE=AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出DC的長即可．

解答 解：
（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF．
∴四邊形AEGF是正方形．
（2）解：
由（1）可知AD=AE=AF=EG=GF=8，BE=BD=3，CF=DC=x，
∴BG=EG-BE=5，CG=GF-CF=8-x．
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²
∴（3+x）²=（8-x）²+5²
解得：x=$\frac{40}{11}$，
∴DC=$\frac{40}{11}$．

點評 本題考查圖形的翻折變換和利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型的解題思想．要能靈活運用．