Question

在數(shù)學活動中，我們發(fā)現(xiàn)了一些有趣的現(xiàn)象，可以用圖形來解決一些數(shù)的問題
現(xiàn)象一：如圖所示，5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．
（1）請求出圖中陰影部分正方形的面積和邊長，并用直尺和圓規(guī)把邊長在數(shù)軸上表示出來．
現(xiàn)象二：為求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

的值，設(shè)計了如圖（1）所示的幾何圖形．

（2）請你利用這個幾何圖形求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

的值為

 

．（結(jié)果保留n）
請你利用圖（2）再設(shè)計一個能求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

的值的幾何圖形．

Answer 1

考點：規(guī)律型：圖形的變化類

專題：

分析：（1）根據(jù)陰影部分的面積等于正方形的面積減去四周四個小直角三角形的面積列式計算即可得解；再利用算術(shù)平方根的定義求出邊長；利用勾股定理作出邊長表示的無理數(shù)即可．
（2）設(shè)正方形的面積為1，每次劃分都是將原圖形化成兩個面積相等的圖象，當化到第n個時，所剩的最小圖形的面積是

1

2n

，所以

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

表示的面積等于1-

1

2n

．在劃分圖形時每次劃分都是上一級圖形面積的一半．

解答：解：（1）陰影部分面積=5×5-4×

1

2

×1×4，
=25-8，
=17，
陰影部分正方形的邊長=

17

；
如圖所示．
  

（2）

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

=1-

1

2n

，
如圖1-1或如圖1-2或如圖1-3等．     

點評：本題考查了圖形的變化類問題，解答關(guān)鍵是利用圖形的面積表示所求表達式的值，在圖形劃分時每一次劃分都是上一級圖形面積的一半．