Question

15．請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
如圖（1），A，B兩點在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，直線AB與坐標軸分別交于點C，D，求證：AD=BC．
下面是小明同學的部分證明過程：
證明：如圖（2），過點A作AM⊥y軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．
設(shè)直線AB的表達式為y=mx+n，A，B兩點的橫坐標分別為a，b，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{a}=ma+n}\\{\frac{k}=mb+n}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{k}{ab}$，n=$\frac{k（a+b）}{ab}$
∴直線AB的表達式y(tǒng)=-$\frac{k}{ab}$x+$\frac{k（a+b）}{ab}$
當x=0時，y=$\frac{k（a+b）}{ab}$，∴點D的坐標為（0，$\frac{k（a+b）}{ab}$）
∴DM=$\frac{k（a+b）}{ab}$-$\frac{k}{a}$=$\frac{k}$…
（1）請補全小明的證明過程；
（2）如圖（3），直線AB與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點A（$\frac{1}{2}$，9）和點C，與x軸交于點D，連接OC．若點B的坐標為（0，10），則點C的坐標為（$\frac{9}{2}$，1），△OCD的面積為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）證明：如圖（2），過點A作AM⊥y軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．得到直線AB的表達式y(tǒng)=-$\frac{k}{ab}$x+$\frac{k（a+b）}{ab}$當x=0時，y=$\frac{k（a+b）}{ab}$，得到點D的坐標為（0，$\frac{k（a+b）}{ab}$）于是得到DM=$\frac{k（a+b）}{ab}$-$\frac{k}{a}$=$\frac{k}$，當y=0時，x=a+b，求得點C的坐標為（a+b，0）于是得到CN=a+b-b=a，據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）把點A（$\frac{1}{2}$，9）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$得k=$\frac{9}{2}$，求得反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{9}{2x}$，把A（$\frac{1}{2}$，9），點B的坐標為（0，10）代入y=mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{9=\frac{1}{2}m+n}\\{n=10}\end{array}\right.$，求得直線AB的解析式為：y=-2x+10，解方程組得到C（$\frac{9}{2}$，1），根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖（2），過點A作AM⊥y軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．
設(shè)直線AB的表達式為y=mx+n，A，B兩點的橫坐標分別為a，b，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{a}=ma+n}\\{\frac{k}=mb+n}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{k}{ab}$，n=$\frac{k（a+b）}{ab}$
∴直線AB的表達式y(tǒng)=-$\frac{k}{ab}$x+$\frac{k（a+b）}{ab}$
當x=0時，y=$\frac{k（a+b）}{ab}$，∴點D的坐標為（0，$\frac{k（a+b）}{ab}$）
∴DM=$\frac{k（a+b）}{ab}$-$\frac{k}{a}$=$\frac{k}$，
當y=0時，x=a+b，∴點C的坐標為（a+b，0）
∴CN=a+b-b=a，
∴AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{k}）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}^{2}+{a}^{2}^{2}}{^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+{a}^{2}^{2}}}$，
CB=$\sqrt{C{N}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{k}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}^{2}+{a}^{2}^{2}}{^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+{a}^{2}^{2}}}$，
∴AD=BC；

（2）解：把點A（$\frac{1}{2}$，9）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$得k=$\frac{9}{2}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{9}{2x}$，
把A（$\frac{1}{2}$，9），點B的坐標為（0，10）代入y=mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{9=\frac{1}{2}m+n}\\{n=10}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=10}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=-2x+10，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+10}\\{y=\frac{9}{2x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{9}{2}$，1），
在y=-2x+10中，令y=0，則x=5，
∴直線AB于x軸的交點D（5，0），
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}×$×1=$\frac{5}{2}$，
故答案為：（$\frac{9}{2}$，1），$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)的圖象于反比例函數(shù)的圖象的交點問題，求函數(shù)的解析式，勾股定理，三角形面積的計算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．