Question

18．如圖，在梯形ABCD的對角線AC的延長線上任取一點P，過點P與梯形兩條底邊的中點的連線分別交腰AB、CD于點M、N，求證：MN∥AD∥BC．

Answer 1

分析 要證MN∥AD∥BC，只需證明$\frac{BM}{MA}=\frac{CN}{ND}$即可．分別對△ABC和截線MKP、△ACD和截線PNL使用梅涅勞斯定理，再結(jié)合中點條件，導(dǎo)出所需的線段比例關(guān)系即可．

解答 證明：對于△ABC和截線MKP，由梅涅勞斯定理可得：$\frac{AM}{MB}•\frac{BK}{KC}•\frac{CP}{PA}=1$，
∵BK=CK，
∴$\frac{AM}{BM}=\frac{PA}{CP}$；
對于△ACD和截線PNL，由梅涅勞斯定理可得：$\frac{AP}{CP}•\frac{CN}{ND}•\frac{DL}{LA}=1$，
∵AL=LD，
∴$\frac{PA}{CP}=\frac{ND}{CN}$，
∴$\frac{AM}{MB}=\frac{DN}{CN}$，
∴MN∥AD∥BC．

點評 本題考查梅涅勞斯定理的基本應(yīng)用，對于競賽而言，是一道很基礎(chǔ)的題目．熟練地識別三角形及其對應(yīng)的截線是掌握好梅涅勞斯定理的基本要求．