Question

8．如圖，在△ABC中，∠ACB=45°，D是AB邊的中點，點E在BC邊上，點F在AC邊上，DE⊥DF，連接EF，若BE=1，EF=5，則線段AF的長為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延長ED到M使DM=DE，連接AM，過F作FN⊥MA交MA的延長于N推出△AMD≌△BED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM=DE，∠MAD=∠B，AM=BE=1，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到MF=EF=5，由平行線的性質(zhì)得到∠NAF=∠C=45°，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論．

解答 解：延長ED到M使DM=DE，連接AM，過F作FN⊥MA交MA的延長于N，
∵D是AB邊的中點，
∴BD=AD，
在△AMD與△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADM=∠BDE}\\{DM=DE}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△BED，
∴DM=DE，∠MAD=∠B，AM=BE=1，
∴AM∥BC，
∵DE⊥DF，
∴MF=EF=5，
∵AM∥BC，
∴∠NAF=∠C=45°，
∴AN=NF，
∴NM²+NF²=MF²，
即（1+AN）²+AN²=5²，
∴AN=3，
∴AF=$\sqrt{2}$AN=3$\sqrt{2}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．