Question

12．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，O為斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O交斜邊于另一點(diǎn)D，且AO=OD=DB．

（1）如圖1，⊙O與直角邊BC相切于E點(diǎn)，連接AE，求cos∠CAE的值；
（2）如圖2，⊙O與直角邊BC相交于E、F兩點(diǎn)，且E為$\widehat{DF}$的中點(diǎn)，連接AF，求cos∠CAF的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OE由BC與⊙O相切，得到OE⊥BC，由于AO=OD=DB，推出∠B=$\frac{1}{2}∠$BOE=30°，根據(jù)同圓的半徑相等得到OA=OE，于是∠BAE=∠AEO=30°，進(jìn)而求得結(jié)果cos∠CAE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）如圖2，連接DF，OE，由垂徑定理得到∴OE⊥DF，由AD是⊙O的直徑，得到∠AFD=90°，根據(jù)平行線分線段成比例得到$\frac{OE}{AF}=\frac{OB}{AB}=\frac{BE}{BF}=\frac{2}{3}$，過O作OG⊥BC，同理可得$\frac{OG}{AC}=\frac{BO}{AB}=\frac{BG}{BC}=\frac{2}{3}$，于是得到結(jié)果

解答 解：（1）如圖1，連接OE，
∵BC與⊙O相切，
∴OE⊥BC，
∵AO=OD=DB，
∴∠B=$\frac{1}{2}∠$BOE=30°，
∵OA=OE，
∴∠BAE=∠AEO=30°，
∴cos∠CAE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）如圖2，連接DF，OE，
∵E為$\widehat{DF}$的中點(diǎn)，
∴OE⊥DF，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AFD=90°，
∴OE∥AF，
∴$\frac{OE}{AF}=\frac{OB}{AB}=\frac{BE}{BF}=\frac{2}{3}$，
過O作OG⊥BC，
∴OG∥AC，G為EF的中點(diǎn)，
∴$\frac{OG}{AC}=\frac{BO}{AB}=\frac{BG}{BC}=\frac{2}{3}$，
設(shè)圓的半徑為 r，
∴r=$\sqrt{2}$EF，CF=$\frac{3}{4}$EF，
∴cos∠CAF=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．