Question

17．△ABC內(nèi)接于⊙O，BE與⊙O相切于點(diǎn)B，D是⊙O上的一點(diǎn)，AD的延長線交BE于點(diǎn)E，AB•BE=AE•DC，求證：BD是∠CBE的平分線．

Answer 1

分析 連接BC，由BE與⊙O相切于點(diǎn)B，得到∠1=∠2，證得△ABE∽△EDB，得到比例式$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，由于AB•BE=AE•DC，得到比例式$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{BE}$，于是BD=CD，證得∠2=∠3，通過等量代換可得BD是∠CBE的平分線．

解答 證明：連接BC，
∵BE與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴∠1=∠2，
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△EDB，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{BE}$，
∵AB•BE=AE•DC，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{CD}$，
∴BD=CD，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴∠2=∠3，
∵∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∴BD是∠CBE的平分線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，弦切角定理，圓周角定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．