Question

16．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出的以下四個結(jié)論：
①AE=CF； ②△EPF一定是等腰直角三角形； ③S_{四邊形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
④當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時始終有EF=AP．（點(diǎn)E不與A、B重合），
上述結(jié)論中始終正確的有（　�。�

• A． ①④
• B． ①②
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC，AP平分∠BAC．所以可證∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即證得△APE與△CPF全等．根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確．

解答 解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，
∴AP=CP，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE與△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠PCF}\\{AP=CP}\\{∠EPA=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可證△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S_{四邊形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，①②③正確；
而AP=$\frac{1}{2}$BC，當(dāng)EF不是△ABC的中位線時，則EF不等于BC的一半，EF=AP，
∴故④不成立．
故始終正確的是①②③．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的中位線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．