Question

12．若一個(gè)三位數(shù)t=$\overline{abc}$（其中a、b、c不全相等且都不為0），重新排列各數(shù)位上的數(shù)字必可得到一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，此最大數(shù)和最小數(shù)的差叫做原數(shù)的差數(shù)，記為T（t）．例如，357的差數(shù)T（357）=753-357=396．
（1）已知一個(gè)三位數(shù)$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的差數(shù)T（$\overline{a1b}$）=792，且各數(shù)位上的數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)，求這個(gè)三位數(shù)；
（2）若一個(gè)三位數(shù)$\overline{ab2}$（其中a、b都不為0）能被4整除，將個(gè)位上的數(shù)字移到百位得到一個(gè)新數(shù)$\overline{2ab}$被4除余1，再將新數(shù)個(gè)位數(shù)字移到百位得到另一個(gè)新數(shù)$\overline{b2a}$被4除余2，則稱原數(shù)為4的“閨蜜數(shù)”．例如：因?yàn)?12=4×153，261=4×65+1，126=4×31+2，所以612是4的一個(gè)閨蜜數(shù)．求所有小于500的4的“閨蜜數(shù)”t，并求T（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由一個(gè)三位數(shù)$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的差數(shù)T（$\overline{a1b}$）=792，可得a=9，再根據(jù)三位數(shù)$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的各數(shù)位上的數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)，可得b=16-9-1=6，依此即可求解；
（2）由一個(gè)三位數(shù)$\overline{ab2}$（其中a、b都不為0）能被4整除，可得b=1或3或5或7或9，再根據(jù)將新數(shù)個(gè)位數(shù)字移到百位得到另一個(gè)新數(shù)$\overline{b2a}$被4除余2并且a＜5，可得a=2，從而得到所有小于500的4的“閨蜜數(shù)”t，進(jìn)一步求得T（t）的最大值．

解答 解：（1）∵一個(gè)三位數(shù)$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的差數(shù)T（$\overline{a1b}$）=792，
∴a=9，
∵三位數(shù)$\overline{a1b}$（其中a＞b＞1）的各數(shù)位上的數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)，
∴b=16-9-1=6，
∴這個(gè)三位數(shù)是916；

（2）∵一個(gè)三位數(shù)$\overline{ab2}$（其中a、b都不為0）能被4整除，
∴b=1或3或5或7或9，
∵將新數(shù)個(gè)位數(shù)字移到百位得到另一個(gè)新數(shù)$\overline{b2a}$被4除余2并且a＜5，
∴a=2，
∴所有小于500的4的“閨蜜數(shù)”t是212，232，252，272，292，
T（t）的最大值是922-229=693．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了完全平方數(shù)，本題主要應(yīng)用“差數(shù)”“閨蜜數(shù)”的定義和整數(shù)性質(zhì)，先將三位“差數(shù)”進(jìn)行預(yù)選，然后再從中篩選出符合題意的數(shù)．這也是解答數(shù)學(xué)競賽題的一種常用方法．