Question

1．若三角形的內(nèi)心與重心為同一點(diǎn)，求證：這個(gè)三角形為正三角形．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)O是△ABC的重心，連接AO，并延長AO交BC于點(diǎn)D，連接BO，并延長BO交CA于點(diǎn)E，連接CO，并延長CO交AB于點(diǎn)F，得到S_△OBC=S_△OCA=S_△OAB，過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，OH⊥CA于點(diǎn)H，OG⊥AB于點(diǎn)I，得到BC=CA=AB，從而證得△ABC是正三角形．

解答 證明：不妨設(shè)點(diǎn)O是△ABC的重心，
連接AO，并延長AO交BC于點(diǎn)D，
連接BO，并延長BO交CA于點(diǎn)E，
連接CO，并延長CO交AB于點(diǎn)F，
則AD，BE，CF分別是邊BC，CA，AB上的中線，
∴S_△ABD=S_△ACD，S_△OBD=S_△OCD （等底同高的三角形面積相等），
∴S_△ABD-S_△OBD=S_△ACD-S_△OCD，
即S_△AOB=S_△AOC，
同理，可得：S_△COA=S_△COB，S_△BOA=S_△BOC，
即S_△OBC=S_△OCA=S_△OAB，
過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，OH⊥CA于點(diǎn)H，OG⊥AB于點(diǎn)I，
∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，
∴OG=OH=OI，
∵OG，OH，OI分別是△OBC，△OCA，△OAB的高，
∴BC=CA=AB，
∴△ABC是正三角形．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的無心，了解三角形的五心的性質(zhì)是解答此類題目的難點(diǎn)和重點(diǎn)，本題難度較大，正確的作出輔助線是解答的關(guān)鍵．