Question

3．在△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{2}$，以A為圓心，1為半徑的圓與BC邊所在的直線相切，則∠BAC的度數(shù)是15°或105°．

Answer 1

分析 首先通過作輔助線構(gòu)建直角三角形，然后分別得出三角形各內(nèi)角度數(shù)，進(jìn)而得出答案．

解答 解：如圖1，設(shè)圓A與BC切于點D，連接AD，
則AD⊥BC，
在直角△ABD中，AB=2，AD=1，則sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，
∴∠BAD=60°，
同理，在直角△ACD中，tanC=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
得到∠CAD=45°，
因而∠BAC的度數(shù)是105°．
如圖2，設(shè)圓A與BC延長線切于點D，連接AD，
則AD⊥BC，
在直角△ABD中，AB=2，AD=1，則sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，
∴∠BAD=60°，
同理，在直角△ACD中，tan∠ACD=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
得到∠CAD=45°，
因而∠BAC的度數(shù)是15°．
故答案為：15°或105°．

點評 此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題是解題關(guān)鍵．