Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=7cm，AC=24cm，P點(diǎn)在BC上，從B點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括C點(diǎn)），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s；Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)（不包括A點(diǎn)），速度為5cm/s．若點(diǎn)P、Q分別從B、C同時(shí)運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過了x秒，請(qǐng)解答下面的問題，并寫出探索的主要過程：
（1）PC=

 

cm，QC=

 

cm（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）經(jīng)過多少時(shí)間，△PCQ的面積為15cm²；
（3）經(jīng)過多少時(shí)間，△PCQ的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值

專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題

分析：（1）利用x表示出PC、CQ的長(zhǎng)，依此即可求解
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，根據(jù)三角形的面積公式表示出△PCQ的面積，令其等于15即可列出關(guān)于x的方程，解方程即可；
（3）利用（2）中所求表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．

解答：解：（1）PC=（7-2x）cm，QC=5xcm；

（2）依題意得：

1

2

(7-2x)•5x=15…（3分）
整理得：2x²-7x+6=0
解得：x1=

3

2

，x₂=2
經(jīng)檢驗(yàn)，x1=

3

2

，x₂=2符合題意
答：經(jīng)過

3

2

秒或2秒，△PCQ的面積為15cm²；

（3）設(shè)△PCQ的面積為S
則S=

1

2

(7-2x)•5x=-5(x-

7

4

)2+

245

16

∵0≤x＜

7

2

∴當(dāng)x=

7

4

時(shí)，△PCQ的面積最大，最大面積是

245

16

．
故答案為：（7-2x）；5x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的最值及三角形的面積，用時(shí)間表示出三角形各邊長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．