Question

4．如圖，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，△ABD、△BCE均為等邊三角形，連接DE，點(diǎn)F、G、H、M分別為DE、EC、AC、AD的中點(diǎn)．
求證：四邊形MHGF是菱形．

Answer 1

分析 連接AE、CD．利用SAS證得△ABE≌△DBC，則AE=CD．然后由三角形中位線定理得到FG=GH=HM=MF，即四邊形FGHM是菱形．

解答 證明：連接AE、CD．
∵△ADB、△BCE為等邊三角形
∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC．
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD．
∵點(diǎn)F、G、H、M分別為DE、EC、AC、AD的中點(diǎn)，
∴FG=$\frac{1}{2}$CD，GH=$\frac{1}{2}$AE，HM=$\frac{1}{2}$CD，MF=$\frac{1}{2}$AE，
∴FG=GH=HM=MF，
∴四邊形FGHM是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了中點(diǎn)四邊形，菱形的判定．注意三角形中位線定理在解答中的應(yīng)用．