Question

8．如圖，弦AB，CD交EF于M，N，且ME=NF，∠AMN=∠CNM，求證：AB=CD．

Answer 1

分析 作OP⊥EF于P，OQ⊥AB于Q，OR⊥CD于R，連結(jié)OM、ON，如圖，根據(jù)垂徑定理得PE=PF，則由ME=NF得到PM=PN，則可根據(jù)“SAS”判定△OPM≌△OPN，得到OM=ON，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠OMN=∠ONM，由于∠AMN=∠CNM，所以∠OMQ=∠ONR，于是可根據(jù)“AAS”可判斷△OMQ≌△ONR，得到OQ=OR，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弦心距所對應(yīng)的弦相等得到AB=CD．

解答 證明：作OP⊥EF于P，OQ⊥AB于Q，OR⊥CD于R，連結(jié)OM、ON，如圖，則PE=PF，
∵M(jìn)E=NF，
∴PM=PN，
在△OPM和△OPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PM=PN}\\{∠OPM=∠OPN}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△OPM≌△OPN，
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∵∠AMN=∠CNM，
∴∠OMQ=∠ONR，
在△OMQ和△ONR中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OQM=∠ORN}\\{∠OMQ=∠ONR}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMQ≌△ONR，
∴OQ=OR，
∴AB=CD．

點(diǎn)評 本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．