Question

17．解方程：（$\sqrt{2}$+1）^x+（$\sqrt{2}$-1）^x=6．

Answer 1

分析 原方程兩邊同乘（$\sqrt{2}$+1）^x整理得：（$\sqrt{2}$+1）^2x-6（$\sqrt{2}$+1）^x+1=0，設(shè)（$\sqrt{2}$+1）^x=y，則化為y²-6y+1=0，用公式法解方程求得y的值，再把y=-2和2分別代入（$\sqrt{2}$+1）^x=y，即可確定原方程的解．

解答 解：原方程兩邊同乘（$\sqrt{2}$+1）^x整理得：（$\sqrt{2}$+1）^2x-6（$\sqrt{2}$+1）^x+1=0，
設(shè)（$\sqrt{2}$+1）^x=y，則y²-6y+1=0，
∵b²-4ac=36-4=32＞0，
∴y=$\frac{6±\sqrt{32}}{2}$，
∴y₁=3+2$\sqrt{2}$，y₂=3-2$\sqrt{2}$，
當(dāng)（$\sqrt{2}$+1）^x=3+2$\sqrt{2}$時(shí)，x=2，
當(dāng)（$\sqrt{2}$+1）^x=3-2$\sqrt{2}$時(shí)，x=-2，
∴原方程的解為：x₁=2，x₂=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了換元法解一元二次方程：我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元的方法變成簡(jiǎn)單方程．