Question

如圖，拋物線y=mx²-2mx-3m（m＞0）與x軸交與A、B兩點(diǎn)，與y軸交與C點(diǎn)．
（1）求拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m變化時(shí)，試證明△BCM與△ABC的面積比值是定值，并求出此定值；
（3）若線段CM的垂直平分線過(guò)B點(diǎn)，求拋物線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標(biāo)．
（2）易求得C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到OC的長(zhǎng)，以AB為底，OC為高，即可求出△ABC的面積；△BCM的面積無(wú)法直接求得，可用割補(bǔ)法求解，過(guò)M作MD⊥x軸于D，根據(jù)B、C、M四點(diǎn)坐標(biāo)，可分別求出梯形OCMD、△BDM的面積，它們的面積和減去△BOC的面積即為△BCM的面積，進(jìn)而可得到△ABC、△BCM的面積比．
（3）根據(jù)線段CM的垂直平分線過(guò)B點(diǎn)可以得到CM=CB，利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程求得m的值即可．

解答：解：（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x²-2x-3）=m（x-1）²-4m，
∴拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4m）；（2分）
∵拋物線y=mx²-2mx-3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)y=0時(shí)，mx²-2mx-3m=0，
∵m＞0，
∴x²-2x-3=0；
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）、（3，0）．

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=-3m，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3m）．
∴S△ABC=

1

2

|3-（-1）|×|-3m|=6|m|=6m．
過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則OD=1，BD=OB-OD=2，
MD=|-4m|=4m．
∴S_△BCM=S_△BDM+S_梯形OCMD-S_△OBC
=

1

2

BD•DM+

1

2

（OC+OM）•OD-

1

2

OB•BC
=

1

2

×2×4m+

1

2

（3m+4m）×1-

1

2

×3×3m
=3m．
∴S_△BCM：S_△ABC=1：2，
故答案為：

1

2

；

（3）∵線段CM的垂直平分線過(guò)B點(diǎn)，
∴BM=BC，
∵拋物線y=mx²-2mx-3m（m＞0）的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-4m），B（3，0），C（0，-3m），
∴3²+（3m）²=（3-1）²-（4m）²，
解得：m=

35

7

．
故解析式為：y=

35

7

x²-

2 35

7

x-

3 35

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．