Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分了C₁經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C₂組成一條封閉曲線，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1.5），M是拋物線C₂；y=tx²-2tx-3t（t＜0）的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）在第四象限的封閉曲線上確定一點(diǎn)P，使△PBC面積最大，求出此時(shí)△PBC的最大值；
（3）是否存在t值使得S_S△BCD=2S_△ACM？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令y=0，則tx²-2tx-3t=0，根據(jù)t＜0，可得出x²-2x-3=0A（-1，0），B（3，0），設(shè)拋物線C₁的表達(dá)式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0），把點(diǎn)C代入求出a的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)S_△PBC=S_△POC+S_△BOP-S_△BOC就可得出結(jié)論；
（3）由D，M的坐標(biāo)求出C、D的長，故可得出△BCD的面積，連接AM，交y軸于點(diǎn)E，直線AM的方程為y=-2tx-2t，2S_△ACM=-4t+3，再由S_△BCD=2S_△ACM，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）令y=0，則tx²-2tx-3t=0，
∵t＜0，
∴x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵設(shè)拋物線C₁的表達(dá)式為y=a（x+1）（x-3）（a≠0），把C（0，-

3

2

）代入得，a=

1

2

，
∴拋物線C₁的表達(dá)式為y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）∵設(shè)P（p，

1

2

x²-x-

3

2

），
∴S_△PBC=S_△POC+S_△BOP-S_△BOC=-

3

4

（p-

3

2

）²+

27

16

，
∴當(dāng)p=

3

2

時(shí)，△PBC的面積最大值為

27

16

；

（3）∵由C₂知D（0，-3t），M（1，-4t），
∴CD=-3t+

3

2

，
∴S_△BCD=

3

2

CD•OB=-

9

2

t+

9

4

，
連接AM，交y軸于點(diǎn)E，直線AM的方程為y=-2tx-2t，
∴E（0，-20），CE=-2t+

3

2

，
∴S_△ACM=-2t+

3

2

，
∴2S_△ACM=-4t+3，
∵S_△BCD=2S_△ACM，解得t=-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式等知識(shí)，難度較大．