Question

15．二次函數(shù)圖象如圖，下列結(jié)論：①abc＜0；②2a-b=0；③對于任意實數(shù)m，都滿足am²+bm≤a+b；④a-b+c＞0；⑤若ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁=ax${\;}_{2}^{2}$+bx₂，且x₁≠x₂，則x₁+x₂=2．其中正確的有①③⑤．（把正確的序號都填上）

Answer 1

分析 ①只需根據(jù)拋物線的開口、對稱軸的位置、與y軸的交點位置就可得到a、b、c的符號，從而得到abc的符號；②只需利用拋物線對稱軸方程x=-$\frac{2a}$=1就可得到2a與b的關(guān)系；③只需結(jié)合圖象就可得到當(dāng)x=1時y=a+b+c最大，從而解決問題；④只需根據(jù)拋物線的對稱性就可得到x=-1與x=3所對應(yīng)的函數(shù)值相同，然后根據(jù)圖象確定x=3所對應(yīng)的函數(shù)值的符號，即可得到x=-1所對應(yīng)的函數(shù)值的符號；⑤由ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁=ax${\;}_{2}^{2}$+bx₂可得ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁+c=ax${\;}_{2}^{2}$+bx₂+c，然后利用拋物線的對稱性即可解決問題．

解答 解：①由拋物線的開口向下可得a＜0，
由對稱軸在y軸的右邊可得x=-$\frac{2a}$＞0，從而有b＞0，
由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上可得c＞0，
則abc＜0，故①正確；
②由對稱軸方程x=-$\frac{2a}$=1得b=-2a，即2a+b=0，故②錯誤；
③由圖可知，當(dāng)x=1時，y=a+b+c最大，
則對于任意實數(shù)m，都滿足am²+bm+c≤a+b+c，即am²+bm≤a+b，故③正確；
④由拋物線的對稱性可得x=-1與x=3所對應(yīng)的函數(shù)值相同，
由圖可知x=3所對應(yīng)的函數(shù)值為負(fù)，
因而x=-1所對應(yīng)的函數(shù)值為負(fù)，即a-b+c＜0，故④錯誤；
⑤若ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁=ax${\;}_{2}^{2}$+bx₂，且x₁≠x₂，
則ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁+c=ax${\;}_{2}^{2}$+bx₂+c，
所以拋物線上的點（x₁，y₁）與（x₂，y₂）關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
所以1-x₁=x₂-1，即x₁+x₂=2，故⑤正確．
故答案為①③⑤．

點評 本題主要考查了拋物線的性質(zhì)（開口、對稱軸、對稱性、最值性等）、拋物線上點的坐標(biāo)特征等知識，運用數(shù)形結(jié)合的思想即可解決問題．