Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使EF=DE，連接AF、CF、CD．
（1）求證：四邊形ADCF是菱形．
（2）若BC=6，AC=8，求四邊形ABCF的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ADCF是平行四邊形，再證明DE是△ABC的中位線，得出DE∥BC，證出AC⊥DF，即可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理求出AB，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，
∴AE=EC．
又∵EF=DE，
∴四邊形ADCF是平行四邊形．
又∵點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC．
又∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°．
∴AC⊥DF．                                            
∴四邊形ADCF是菱形．
（2）解：∵四邊形ADCF是菱形，
∴CD=CF=AF=AD，
在Rt△ABC中，$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=\sqrt{{6^2}+{8^2}}=10$．
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴CF=AF=5，
∴四邊形ABCF的周長(zhǎng)=10+6+5+5=26．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，由三角形中位線定理得出DE∥BC是解決（1）的關(guān)鍵．