Question

8．如圖，已知在正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD邊長，過C點(diǎn)作AE的垂線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF，過點(diǎn)D作DF的垂線交A于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)BG．
（1）求證：△ADG≌△CDF；
（2）如果E為CD的中點(diǎn)，求證：BG⊥AF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)和垂直求出AD=CD，∠ADE=∠GDF=90°，求出∠ADG=∠CDF，∠DAG=∠DCF，根據(jù)ASA推出兩三角形全等即可；
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，求出DE=EC=$\frac{1}{2}$a，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，證△ADE∽△CFE，求出CF=2EF，由勾股定理求出EF=$\frac{\sqrt{5}}{10}$a，CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，求出AG=CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，$\frac{AG}{DE}$=$\frac{AB}{AE}$，證△ABG∽△EAD，推出∠BGA=∠ADE即可．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，DG⊥DF，
∴AD=CD，∠ADE=∠GDF=90°，
∴∠ADG=∠CDF=90°-∠GDE，
∵AF⊥CF，
∴∠EFC=∠ADE=90°，
∵∠AED=∠CEF，
∴由三角形內(nèi)角和定理得：∠DAG=∠DCF，
在△ADG和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAG=∠DCF}\\{AD=DC}\\{∠ADG=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△CDF；

（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴DE=EC=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∵∠ADE=∠CFE，∠AED=∠FEC，
∴△ADE∽△CFE，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{CF}{EF}$=$\frac{a}{\frac{1}{2}a}$=2，
∴CF=2EF，
∵CE=$\frac{1}{2}$a，∠EFC=90°，
∴由勾股定理得：EF=$\frac{\sqrt{5}}{10}$a，CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
∵△ADG≌△CDF，
∴AG=CF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
即$\frac{AG}{DE}$=$\frac{AB}{AE}$，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BAG=∠AED，
∴△ABG∽△EAD，
∴∠BGA=∠ADE，
∵∠ADE=90°，
∴∠BGA=90°，
∴BG⊥AF．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，此題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．