Question

20．先填寫如表，再回答后面提出的問題．

方程	方程的根x1、x2
x2-5x+6=0	x1=2，x2=3
6x2-5x+1=0	x1=$\frac{1}{2}$，x2=$\frac{1}{3}$
x2-7x+10=0	x1=2，x2=5
10x2-7x+1=0	x1=$\frac{1}{2}$，x2=$\frac{1}{5}$

（1）請你根據(jù)上表中方程根的規(guī)律填空：如果一元二次方程ax²-bx+c=0（a、c均不為0）的兩個實數(shù)根為m、n，那么cx²-bx+a=0的兩根是x₁=$\frac{1}{m}$，x₂=$\frac{1}{n}$；
（2）你能說明你猜想的依據(jù)嗎？試試看；
（3）已知一元二次方程a²-3a+2=0和2b²-3b+1=0，且ab≠1，求$\frac{ab+a-1}$的值．

Answer 1

分析 （1）分析表中方程的根與系數(shù)的關(guān)系：交換一個一元二次方程的二次項與常數(shù)項的系數(shù)所得的方程的解是原方程的解倒數(shù)．
（2）利用公式法解一元二次方程ax²-bx+c=0與cx²-bx+a=0的兩根，然后分析它們的根的數(shù)量關(guān)系即可．
（3）根據(jù)（1）與（2）的結(jié)論求出一元二次方程a²-3a+2=0和2b²-3b+1=0的兩個根，再根據(jù)ab≠1，分析a、b的取值即可求出代數(shù)式$\frac{ab+a-1}$的值．

解答 解：（1）根據(jù)表中方程的根的規(guī)律：交換一個一元二次方程的二次項與常數(shù)項的系數(shù)所得的方程的解是原方程的解倒數(shù)，
故答案為：x₁=$\frac{1}{m}$，x₂=$\frac{1}{n}$．
（2）∵一元二次方程ax²-bx+c=0（a、c均不為0）的兩個實數(shù)根為m、n，
∴m=$\frac{b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，n=$\frac{b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，
又∵一元二次方程cx²-bx+a=0中，
x₁=$\frac{b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2c}$，x₂=$\frac{b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2c}$，
∴m•x₂═$\frac{b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2c}$=$\frac{^{2}-（^{2}-4ac）}{4ac}$=1
n•x₁=$\frac{b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2c}$=1
∴x₁=$\frac{1}{n}$，x₂=$\frac{1}{m}$
即：如果一元二次方程ax²-bx+c=0（a、c均不為0）的兩個實數(shù)根為m、n，那么cx²-bx+a=0的兩根是 $\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$；
（3）解一元二次方程a²-3a+2=0，得：a₁=2或 a=1，
則：由（1）知一元二次方程2b²-3b+1=0的解為 b=$\frac{1}{2}$或b=1
∵ab≠1，
∴ab=2或ab=$\frac{1}{2}$，即：a=2，b=1或a=1，b=$\frac{1}{2}$
∴當(dāng)a=2，b=1時，$\frac{ab+a-1}$=$\frac{2+2-1}{1}$=3
當(dāng)或a=1，b=$\frac{1}{2}$時，$\frac{ab+a-1}$=$\frac{\frac{1}{2}+1-1}{\frac{1}{2}}=1$
∴$\frac{ab+a-1}$的值為3或1．

點評 本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析表中方程的根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合一元二次方程的解法加以論證與應(yīng)用．