Question

15．己知△ABC與△AED是等腰直角三角形，點(diǎn)M，N是BD，EC的中點(diǎn)．
（1）如圖1，△AED順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，說(shuō)明MN與EC的關(guān)系；
（2）如圖2，△AED順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，AD=1，AB=$\sqrt{6}$，求MN；
（3）如圖3，△AED逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，說(shuō)明MN與EC的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先判斷出MN是△BDG的中位線，再判斷出△EDN≌△CGN，得出結(jié)論進(jìn)而判斷出△CAE≌△BCG（SAS），即可得出結(jié)論；
（2）先求出DE，再判斷出△DEM≌△BFM，最后用勾股定理求出FC，再用三角形的中位線即可；
（3）先判斷出△EDN≌△CGN（SAS），再得出△CAE≌△BCG（SAS），即可．

解答 解：（1）MN⊥EC，且EC=2MN；
理由：如圖1，延長(zhǎng)DN到G，使DN=GN，連接CG，延長(zhǎng)DE、CA交于點(diǎn)K，
∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，
∴MN是△BDG的中位線
∴BG=2MN，
在△EDN和△CGN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=NG}\\{∠DNE=∠GNC}\\{EN=NC}\end{array}\right.$，
∴△EDN≌△CGN（SAS），
∴DE=CG=AE，∠GCN=∠DEN，
∴DE∥CG，
∴∠KCG=∠CKE，
∵∠EAK=45°，
∴∠CAE=180°-45°=135°
∴∠CKE=∠KCG=45°，
∴∠KCG=∠CKE=45°
∴∠BCG=90°+45°=135°，
∴∠CAE=∠BCG，
在△CAE和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAE=∠BCG}\\{AE=CG}\end{array}\right.$
∴△CAE≌△BCG（SAS），
∴BG=CE，
∵BG=2MN，
∴CE=2MN．
∵△CAE≌△BCG，
∴∠ECK=∠CBG，
∵∠ACB=∠ECK+∠BCE=90°，
∴∠CBG+∠BCE=90°，
∴∠BFC=90°，
∴BG⊥EC，
∵M(jìn)N∥BG，
∴MN⊥EC；
（2）如圖2，
在等腰Rt△ABC中，AB=$\sqrt{6}$，
∴BC=$\sqrt{3}$，
由旋轉(zhuǎn)知，∠AED=∠EAC=90°，
∴DE∥AC，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAD=45°，
∴DE=AD=1
連接EM并延長(zhǎng)至F使EM=FM，連接CF，
∵EN=CN，
∴MN=$\frac{1}{2}$CF，
在△DEM和△BFM中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=BM}\\{∠DME=∠BMF}\\{EM=FM}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△BFM，
∴BF=DE=1，∠MDE=∠MBF，
∴DE∥BF，
∴AC∥BF，
∴∠CBF=90°，
在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得，CF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{C}^{2}}$=2，
∴MN=$\frac{1}{2}$CF=1．

（3）MN⊥EC，且EC=2MN；
理由：如圖3，延長(zhǎng)DN到G，使DN=GN，連接CG，延長(zhǎng)DE、CA交于點(diǎn)K，連接BG，延長(zhǎng)EC交BG于F，延長(zhǎng)AC交BG于H；
∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，
∴MN是△BDG的中位線
∴BG=2MN，
在△EDN和△CGN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DN=NG}\\{∠DNE=∠GNC}\\{EN=NC}\end{array}\right.$，
∴△EDN≌△CGN（SAS）
∴DE=CG=AE，∠GCN=∠DEN，
∴DE∥CG，
∴∠CKE=∠KCG=∠HCG，
∴∠CAE=∠AED+∠CKE=90°+∠CKE=90°+∠HCG，
∵∠BCG=∠BCH+∠HCK=90°+∠HCG，
∠BCG=90°+45°=135°，
∴∠CAE=∠BCG，
在△CAE和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAE=∠BCG}\\{AE=CG}\end{array}\right.$
∴△CAE≌△BCG（SAS），
∴BG=CE，
∵BG=2MN，
∴CE=2MN．
∵△CAE≌△BCG，
∴∠ECK=∠CBG，
∵∠ACB=∠ECK+∠BCE=90°，
∴∠CBG+∠BCE=90°，
∴∠BFC=90°，
∴BG⊥EC，
∵M(jìn)N∥BG，
∴MN⊥EC；
即：MN⊥EC，CE=2MN；

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的中位線，解本題的關(guān)鍵是△EDN≌△CGN（SAS）和△CAE≌△BCG（SAS），作出輔助線是解本題的難點(diǎn)．