Question

1．已知（如圖所示）：拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）、C（0，-3）其對(duì)稱(chēng)軸為x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x為何值時(shí)，△PAC的面積S最大，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）因?yàn)閽佄锞�y=ax²+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，還經(jīng)過(guò)A（3，0）、C（0，-3），所以列方程組即可求得．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出四邊形APCO的面積，再由S_△PAC=S_{四邊形APCO}-S_△OAC，利用配方法求最值即可．

解答 解：（1）把A（3，0）、C（0，-3）代入y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\\{-\frac{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故此拋物線的解析式：y=x²-2x-3．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，
則S_△PAC=S_{四邊形APCO}-S_△OAC
=S_{四邊形OCPM}+S_△APM-S_△AOC
=$\frac{1}{2}$（OC+PM）×OM+$\frac{1}{2}$AM×PM-$\frac{1}{2}$OA×OC
=$\frac{1}{2}$x（3-x²+2x+3）+$\frac{1}{2}$（3-x）（-x²+2x+3）-$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x
=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_△PAC取得最大，最大值為$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求拋物線的解析式、梯形及三角形的面積，配方法求二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．