Question

12．在△ABC中，外接圓圓心為O，重心為G，垂心為H，求證：三點(diǎn)O，G，H共線且OG=$\frac{1}{2}$GH．

Answer 1

分析 設(shè)AM為△ABC的中線，H、O分別是垂心和外心，連接HO，AH、OM，則OM⊥BC，AH⊥BC，利用三角函數(shù)得出OM=Rcos∠BAC，利用垂心及直角三角形可得∠ACB=∠AHD，利用三角函數(shù)及正弦定理可得AH=2Rcos∠BAC，進(jìn)而得出AH=2OM，即點(diǎn)G為三角形的重心，得出三點(diǎn)O，G，H共線，再利用△AHG∽△MOG，即可得出OG=$\frac{1}{2}$GH．

解答 證明：如圖所示，設(shè)AM為△ABC的中線，H、O分別是垂心和外心，連接HO，AH、OM，則OM⊥BC，AH⊥BC，

∴AH∥OM連接OB、OC，
∵O是△ABC的外心，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=∠COM，
∴OM=OC•cos∠COM=Rcos∠BAC（R是△ABC外接圓半徑），
連接BH并延長交AC于點(diǎn)D，
∵H是△ABC的垂心，
∴BD⊥AC
延長MO交AC于點(diǎn)N，
∵AH∥OM，
∴∠CAH=∠CNM，
∵∠ACB+∠CNM=90°，
∴∠ACB+∠CAH=90°，
∵∠AHD+∠CAH=90°，
∴∠ACB=∠AHD，
∴AH=$\frac{AD}{sin∠AHD}$=$\frac{ABcos∠BAC}{sin∠ACB}$=$\frac{AB}{sin∠ACB}$•cos∠BAC=2Rcos∠BAC，（注：正弦定理$\frac{AB}{sin∠ACB}$=2R）
∴AH=2OM，
設(shè)OH和AM交於G，則△AHG∽△MOG，
∴AG：GM=AH：OM=2：1，
∴G是△ABC的重心，即O、M、G三點(diǎn)共線，
∵OG：GH=OM：AH=1：2，
∴OG=$\frac{1}{2}$GH．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的五心，涉及三角形的外心，重心，垂心，相似三角形的判定及性質(zhì)，圓周角與圓心角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，得出∠ACB=∠AHD．