Question

20．如圖，直線l₁的解析式為y₁=$\sqrt{3}$x，直線l₂的解析式為y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，過點(diǎn)（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）…（n，0）作y軸的平行線，與直線l₁分別交于點(diǎn)A₁、A₂、A₃、A₄、…A_n，與直線l₂分別交于點(diǎn)B₁、B₂、B₃、…B_n，連接A₁B₂、A₂B₃、A₃B₄、…、A_nB_n+1，設(shè)△OA₁B₁的面積為S₁，△A₁B₁B₂的面積為S₂，△A₁B₂A₂的面積為S₃…，則S₂₀₁₅=（　�。�

• A． $\frac{2016\sqrt{3}}{3}$
• B． 1008$\sqrt{3}$
• C． $\frac{2015\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2015\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A₁（1，$\sqrt{3}$），B₁（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），于是可判斷直線y₁=$\sqrt{3}$x與x軸的夾角為60°，直線y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x與x軸的夾角為30°，則l₁⊥l₂，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得到OA₁=2，OA₂=4，OA₃=6，OA₄=8，OB₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OB₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OB₃=2$\sqrt{3}$，OB₄=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，所以O(shè)A₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=2，OB₁=B₁B₂=B₂B₃=B₃B₄=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，接著根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出S₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，S₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，S₃=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，S₄=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，S₅=$\frac{6\sqrt{3}}{3}$，S₆=$\frac{6\sqrt{3}}{3}$，按此規(guī)律可得S₂₀₁₅=$\frac{2016\sqrt{3}}{3}$，S₂₀₁₆=$\frac{2016\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：當(dāng)x=1時(shí)，y₁=$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則A₁（1，$\sqrt{3}$），B₁（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
則直線y₁=$\sqrt{3}$x與x軸的夾角為60°，直線y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x與x軸的夾角為30°，
所以l₁⊥l₂，
同樣可得A₂（2，2$\sqrt{3}$），B₂（2，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），A₃（3，3$\sqrt{3}$），B₃（3，-$\sqrt{3}$），A₄（4，4$\sqrt{3}$），B₁（4，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
所以O(shè)A₁=2，OA₂=4，OA₃=6，OA₄=8，OB₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OB₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OB₃=2$\sqrt{3}$，OB₄=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
則OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=2，OB₁=B₁B₂=B₂B₃=B₃B₄=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以S₁=$\frac{1}{2}$OA₁•OB₁=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
S₂=$\frac{1}{2}$OA₁•B₁B₂=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
S₃=$\frac{1}{2}$A₁A₂•OB₂=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
S₄=$\frac{1}{2}$OA₂•B₂B₃=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
S₅=$\frac{1}{2}$A₂A₃•OB₃=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\frac{6\sqrt{3}}{3}$，
S₆=$\frac{1}{2}$OA₃•B₃B₄=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{6\sqrt{3}}{3}$，
…
所以S₂₀₁₅=$\frac{2016\sqrt{3}}{3}$，
S₂₀₁₆=$\frac{2016\sqrt{3}}{3}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b．找到直線y₁=$\sqrt{3}$x與y₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x和x軸的夾角是解決此題的關(guān)鍵．