Question

2．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，$\frac{7}{9}\sqrt{3}$），且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得線段AB長(zhǎng)為6．
（1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱性直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，是PA+PD最小，求出P的坐標(biāo)；
（4）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB的面積是△ABC的2倍？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，又由AB=6，對(duì)稱軸x=4，即可求得A，B的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法，設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）²+k，又由拋物線過(guò)點(diǎn)A，B，D即可求得拋物線的解析式；
（3）由PA=PB，可知：當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時(shí)PA+PD取得最小值，則可利用△BPM∽△BDO求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）首先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用三角形面積求法以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）∵對(duì)稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6，
∴A（1，0）、B（7，0）；

（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）²+k，
∵頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，且過(guò)點(diǎn)（0，$\frac{7}{9}$$\sqrt{3}$），
∴y=a（x-4）²+k•$\frac{7}{9}$$\sqrt{3}$=16a+k①，
又∵對(duì)稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6，
∴A（1，0），B（7，0），
∴0=9a+k②，
由①②解得a=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，k=-$\sqrt{3}$，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$（x-4）²-$\sqrt{3}$或y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{7\sqrt{3}}{9}$．

（3）如圖1：∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=4對(duì)稱，
∴PA=PB，
∴PA+PD=PB+PD≥DB，
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時(shí)PA+PD取得最小值，
∴DB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，
設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)M，
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，
∴△BPM∽△BDO，
∴$\frac{PM}{DO}$=$\frac{BM}{BO}$，
∴PM=$\frac{\frac{7}{9}\sqrt{3}×3}{7}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

（4）如圖2：設(shè)存在Q（x，y），使△QAB的面積是△ABC的2倍，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$（x-4）²-$\sqrt{3}$，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，-$\sqrt{3}$），
則$\frac{1}{2}$AB•y=2S_△ABC，
故$\frac{1}{2}$y×6=2×$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$，
解得：y=2$\sqrt{3}$，
∵Q在拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{7\sqrt{3}}{9}$上，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$x²-$\frac{8\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{7\sqrt{3}}{9}$，
解得：x₁=4+3$\sqrt{3}$，x₂=4-3$\sqrt{3}$，
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（4+3$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），（4-3$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、點(diǎn)的坐標(biāo)求法以及三角形面積求法、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合以及對(duì)稱點(diǎn)求最短路線是解題關(guān)鍵．