Question

13．如圖，已知C，D是反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$圖象在第一象限內(nèi)的分支上的兩點，直線CD分別交x軸，y軸于A，B兩點，設(shè)C，D的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），連結(jié)OC，OD．
（1）求證：y₁＜OC＜y₁+$\frac{m}{{y}_{1}}$；
（2）若∠BOC=∠AOD=α，tanα=$\frac{1}{3}$，OC=$\sqrt{10}$，求直線CD的解析式；
（3）在（2）的條件下，反比例函數(shù)圖象上是否存在一點P，使得S_△POC=S_△POD？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點C作CG⊥x軸，垂直為G，則CG=y₁，OG=x₁，在Rt△OCG中，依據(jù)邊長之間的關(guān)系可得到CG＜OC＜CG+OG，從而可得到問題的答案；（2）過點C作CG⊥OB，垂足為G，過點D作DH⊥OA，垂足為H，在Rt△CGO中，可求得C（1，3）的坐標，在Rt△ODH中可求得點D的坐標，最后利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上存在點P，使得面積S_△POC=S_△POD，這個點P就是∠COD的平分線與分比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的交點．

解答 解：（1）過點C作CG⊥x軸，垂直為G，則CG=y₁，OG=x₁．

∵點C（x₁，y₁）在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴x₁=$\frac{m}{{y}_{1}}$．
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，
∴y₁＜OC＜y₁+$\frac{m}{{y}_{1}}$．

（2）如圖2所示：過點C作CG⊥OB，垂足為G，過點D作DH⊥OA，垂足為H．

由題意可知：在Rt△GOC中，tan∠GOC=$\frac{CG}{OG}$=$\frac{1}{3}$即$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴y₁=3x₁．
∵OC²=OG²+CG²，OC=$\sqrt{10}$，
∴10=x₁²+x₂²，即10=x₁²+（3x₁）²，解得：x₁=±1．
∵負值不和題意，
∴x₁=1，y₁=3．
∴C（1，3）．
∴m=x₁•y₁=3．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{3}{x}$．

在Rt△ODH中，tana=$\frac{DH}{OH}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，即x₂=3y₂，
又y₂=$\frac{3}{{x}_{2}}$，則3y₂²=3，解得：y₂=±1．
∵負值不和題意，
∴y₂=1，x₂=3．
∴D（3，1）．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{3=k+b}\\{1=3k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=-x+4．

（3）反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上存在點P，使得面積S_△POC=S_△POD，這個點P就是∠COD的平分線與分比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的交點．
證明：∵點P在∠COD的平分線上，
∴點P到OC、OD的距離相等．
又因為OD=$\sqrt{O{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{10}$=OC，
∴S_△POC=S_△POD．

點評 本題主要考查的是反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了銳角三角函數(shù)值、反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、角平分線的性質(zhì)，求得點C和點D的坐標是解題的關(guān)鍵．