Question

2．如圖所示，在正方形ABCD中，M是BC上一點，連接AM，作AM垂直平分線GH交AB于G點，交CD于H點，已知AB=8，CM=2，求GH長．

Answer 1

分析 作平行線，構建全等三角形，證明△ABM≌△BCE，得AM=BE，再證明四邊形GBEH是平行四邊形得GH=BE，所以GH=AM，由勾股定理計算出AM的長即可．

解答 解：過B作BE∥GH，交DC于E，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCE=90°，
∴∠EBC+∠BEC=90°，
∵GH是AM的中垂線，BE∥GH，
∴∠BFM=∠GNM=90°，
∴∠EBC+∠BMF=90°，
∴∠BEC=∠BMF，
∴△ABM≌△BCE，
∴AM=BE，
∵AB=BC=8，MC=2，
∴BM=BC-MC=8-2=6，
∴AM=10，
∴BE=10，
∵BG∥EH，GH∥BE，
∴四邊形GBEH是平行四邊形，
∴GH=BE=10．

點評 本題考查了正方形、線段垂直平分線的性質，把所求的邊利用三角形全等和平行四邊形轉化到直角△ABM中，使問題得以解決，直角三角形中的邊利用勾股定理求出，做好此題要熟練掌握正方形的各邊相等及各角為90°，在正方形中證明三角形全等，常根據(jù)同角的余角相等來證明角的大小關系．