Question

12．如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）D是笫一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C、B不重合），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連結(jié)BD、CD．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S．
①求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式及自變量m的取值范圍；
②當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值，并求這個(gè)最大值；
③直線BC能否把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-5），將點(diǎn)C（0，3）代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，從而得出拋物線的解析式；
（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，結(jié)合點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式，再由點(diǎn)D橫坐標(biāo)為m得出點(diǎn)D、點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的面積公式，即可得出結(jié)論；②由①的結(jié)論，利用配方法將S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行變形，從而得出結(jié)論；③結(jié)合圖象可知△BDE和△BFE是等高的，由此得出它們的面積比=DE：EF，分兩種情況考慮，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出關(guān)于m的分式方程，解方程即可得出m的值，將其代入到點(diǎn)D的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 （1）∵拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（5，0），C（0，5），
∴設(shè)y=a（x+1）（x-5），
∴5=a（0+1）（0-5），
解得a=-1，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-（x+1）（x-5），
即y=-x²+4x+5；

（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}b=5\\ 5k+b=0.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5.\end{array}\right.$，
∴y=-x+5，
設(shè)D（m，-m²+4m+5），E（m，-m+5），
∴DE=-m²+4m+5+m-5=-m²+5m
∴s=$\frac{1}{2}×5$（-m²+5m）=-$\frac{5}{2}$m²+$\frac{25}{2}$m （0＜m＜5）；

②s=-$\frac{5}{2}$m²+$\frac{25}{2}$m=$-\frac{5}{2}{（{m-\frac{5}{2}}）^2}+\frac{125}{8}$，
∵$-\frac{5}{2}＜0$，
∴當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時(shí)，S有最大值，S_最大值=$\frac{125}{8}$；

③∵△BDE和△BFE是等高的，
∴它們的面積比=DE：EF，
（ⅰ）當(dāng)DE：EF=2：3時(shí)，
即$\frac{{-{m^2}+5m}}{-m+5}=\frac{2}{3}$，
解得：${m_1}=\frac{2}{3}，{m_2}=5$（舍），
此時(shí)，D（$\frac{2}{3}，\frac{65}{9}$）；

（ⅱ）當(dāng)DE：EF=3：2時(shí)，
即$\frac{{-{m^2}+5m}}{-m+5}=\frac{3}{2}$，
解得：${m_1}=\frac{3}{2}，{m_2}=5$（舍），
此時(shí)，D（$\frac{3}{2}，\frac{35}{4}$）．
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}，\frac{65}{9}$）或（$\frac{3}{2}，\frac{35}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；找出直線BC的函數(shù)解析式；運(yùn)用配方法解決最值問(wèn)題．解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．