Question

17．如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B的⊙O的切線交OP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．
（1）求證：CP=CB；
（2）若⊙O的半徑為3，OC=5，求點(diǎn)O到AB的距離．

Answer 1

分析 （1）要證明RP=RQ，需要證明∠PQR=∠RPQ，連接OQ，則∠OQR=90°；根據(jù)OB=OQ，得∠B=∠OQB，再根據(jù)等角的余角相等即可證明；
（2）過(guò)O作OD⊥AB于D，根據(jù)BC是⊙O的切線，得到∠OBC=90°，由勾股定理得到BC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，求得PC=BC=4，OP=1，由勾股定理得到AP=$\sqrt{A{O}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{26}$，求出AD=$\frac{25}{\sqrt{26}}$=$\frac{25\sqrt{26}}{26}$，然后由勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OB，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∵OP⊥OA，
∴∠OPA+∠A=90°，
又∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA，
∴∠ABC=∠OPA=∠CPB，
∴CP=CB；

（2）解：過(guò)O作OD⊥AB于D，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠OBC=90°，
∴BC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴PC=BC=4，
∴OP=1，
∵∠AOP=90°，
∴AP=$\sqrt{A{O}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∴AO²=AP•AD，
∴AD=$\frac{25}{\sqrt{26}}$=$\frac{25\sqrt{26}}{26}$，
∴OD=$\sqrt{A{O}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{26}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．